Il concetto di infinito ce l’0abbiamo: lo spazio è infinito, il tempo è infinito (se non ci cade qualche meteorite…), ma non tutti riusciamo a fare le operazioni matematiche con il numero infinito. In realtà molte espressioni simili fra loro, e contenenti il numero infinito, danno luogo a risultati diversissimi. Ad esempio infinito diviso infinito può fare nuovamente infinito, ma potrebbe fare anche 5, ad esempio.
Infinito e zero sono gli unici due valori che divisi per due danno nuovamente se stessi: se dividiamo zero caramelle fra due persone, ne toccheranno zero a testa; se dividiamo lo spazio infinito che ci circonda in due gruppi (emisfero boreale ed emisfero australe), ognuno dei due spazi è ancora infinito, e formato da tanto spazio, quanto ce n’era prima della divisione.
David Hilbert è stato un grande matematico, e suo è il problema del hotel che ora propongo.
C’è un hotel infinito, cioè con infinite stanze, in ciascuna delle quali c’è un ospite. Arriva un nuovo ospite: si riesce a sistemarlo? Si, ci dice Hilbert, spostando tutti gli altri ospiti di una stanza: chi occupava la 1 andrà nella 2, chi occupava la 2 andrà nella 3, e cosi via. A questo punto la stanza 1 è vuota e i nuovo ospite può occuparla.
E se arrivasse una corriera infinita, con infiniti viaggiatori? Hilbert dice che basterebbe far spostare i vecchi ospiti dell’hotel nella stanza avente numero doppio della stanza finora occupata: chi occupava la 1 andrà nella 2, chi occupava la 2 andrà nella 4, e cosi via. A questo punto tutte le stanze dispari (che sono infinite) sono libere per i nuovi ospiti.
Hilbert poi ci chiede cosa succederebbe se arrivassero infinite corriere, ciascuna con infiniti viaggiatori, ma per oggi basterà sapere che anche in questa situazione si riesce a sistemare tutti, anche se gli infiniti ospiti potranno prender sonno più tardi del solito…
© Giorgio Dendi
Tratto da Konrad n. 184 di marzo 2013
